Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 126 / 134
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
W  2.812500°		 ← 154.688 km → S  8.407168°
W  1.406250°		 →
↑
154.395 km
↓
↑
154.395 km
↓
S  9.795678°
W  2.812500°		 ← 154.088 km →
23 837.9 km²		 S  9.795678°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494140625 y=0.525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494140625 × 28)
    floor (0.494140625 × 256)
    floor (126.5)     		tx = 126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525390625 × 28)
    floor (0.525390625 × 256)
    floor (134.5)     		ty = 134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 126 / 134 ti = "8/126/134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/126/134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126 ÷ 28
    126 ÷ 256     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 134 ÷ 28
    134 ÷ 256     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126 KachelY 134 -0.04908739 -0.14673277 -2.812500 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 127 KachelY 134 -0.02454369 -0.14673277 -1.406250 -8.407168
    Unten links KachelX 126 KachelY + 1 135 -0.04908739 -0.17096683 -2.812500 -9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 127 KachelY + 1 135 -0.02454369 -0.17096683 -1.406250 -9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.17096683) × R
    0.02423406 × 6371000     		dl = 154395.19626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.17096683) × R
    0.02423406 × 6371000     		dr = 154395.19626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.02454369) × cos(-0.14673277) × R
    0.0245437 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 154687.590671907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.02454369) × cos(-0.17096683) × R
    0.0245437 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 154088.183576116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.9854207357218)×R²
    abs(-0.02454369--0.04908739)×0.0038333126371064×R²
    0.0245437×0.0038333126371064×6371000²
    0.0245437×0.0038333126371064×40589641000000     		ar = 23837914790.8455m²