Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12607 / 20801
↖ ↑ ↗
← S 43.588349°
W 41.495361°		 ← 884.85 m → S 43.588349°
W 41.484375°		 →
↑
884.80 m
↓
↑
884.80 m
↓
S 43.596306°
W 41.495361°		 ← 884.73 m →
782 866 m²		 S 43.596306°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384750366210938 y=0.634811401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384750366210938 × 215)
    floor (0.384750366210938 × 32768)
    floor (12607.5)     		tx = 12607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634811401367188 × 215)
    floor (0.634811401367188 × 32768)
    floor (20801.5)     		ty = 20801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12607 / 20801 ti = "15/12607/20801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12607/20801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12607 ÷ 215
    12607 ÷ 32768     		x = 0.384735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20801 ÷ 215
    20801 ÷ 32768     		y = 0.634796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.72423068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.846949142487152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72423068} λ = -0.72423068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846949142487152))-π/2
    2×atan(0.428720905161089)-π/2
    2×0.405018061396735-π/2
    0.810036122793469-1.57079632675     		φ = -0.76076020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72423068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.495361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76076020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.588349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12607 KachelY 20801 -0.72423068 -0.76076020 -41.495361 -43.588349
    Oben rechts KachelX + 1 12608 KachelY 20801 -0.72403893 -0.76076020 -41.484375 -43.588349
    Unten links KachelX 12607 KachelY + 1 20802 -0.72423068 -0.76089908 -41.495361 -43.596306
    Unten rechts KachelX + 1 12608 KachelY + 1 20802 -0.72403893 -0.76089908 -41.484375 -43.596306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76076020--0.76089908) × R
    0.000138879999999952 × 6371000     		dl = 884.804479999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76076020--0.76089908) × R
    0.000138879999999952 × 6371000     		dr = 884.804479999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72423068--0.72403893) × cos(-0.76076020) × R
    0.000191750000000046 × 0.724312083265956 × 6371000     		do = 884.848070167172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72423068--0.72403893) × cos(-0.76089908) × R
    0.000191750000000046 × 0.724216322372776 × 6371000     		du = 884.731084901448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76076020)-sin(-0.76089908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724312083265956-0.724216322372776)×R²
    abs(-0.72403893--0.72423068)×9.57608931803078e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57608931803078e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57608931803078e-05×40589641000000     		ar = 782865.783317432m²