Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12608 / 20800
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
W 41.484375°		 ← 884.97 m → S 43.580391°
W 41.473388°		 →
↑
884.87 m
↓
↑
884.87 m
↓
S 43.588349°
W 41.484375°		 ← 884.85 m →
783 026 m²		 S 43.588349°
W 41.473388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384780883789062 y=0.634780883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384780883789062 × 215)
    floor (0.384780883789062 × 32768)
    floor (12608.5)     		tx = 12608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634780883789062 × 215)
    floor (0.634780883789062 × 32768)
    floor (20800.5)     		ty = 20800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12608 / 20800 ti = "15/12608/20800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12608/20800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12608 ÷ 215
    12608 ÷ 32768     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20800 ÷ 215
    20800 ÷ 32768     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12608 KachelY 20800 -0.72403893 -0.76062131 -41.484375 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 12609 KachelY 20800 -0.72384718 -0.76062131 -41.473388 -43.580391
    Unten links KachelX 12608 KachelY + 1 20801 -0.72403893 -0.76076020 -41.484375 -43.588349
    Unten rechts KachelX + 1 12609 KachelY + 1 20801 -0.72384718 -0.76076020 -41.473388 -43.588349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76076020) × R
    0.000138890000000003 × 6371000     		dl = 884.868190000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76076020) × R
    0.000138890000000003 × 6371000     		dr = 884.868190000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.72384718) × cos(-0.76062131) × R
    0.000191749999999935 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 884.965046787375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.72384718) × cos(-0.76076020) × R
    0.000191749999999935 × 0.724312083265956 × 6371000     		du = 884.84807016666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76076020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724312083265956)×R²
    abs(-0.72384718--0.72403893)×9.57538166158622e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57538166158622e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57538166158622e-05×40589641000000     		ar = 783025.665977073m²