Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12616 / 20808
↖ ↑ ↗
← S 43.644026°
W 41.396484°		 ← 884.03 m → S 43.644026°
W 41.385498°		 →
↑
883.98 m
↓
↑
883.98 m
↓
S 43.651976°
W 41.396484°		 ← 883.91 m →
781 409 m²		 S 43.651976°
W 41.385498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.385025024414062 y=0.635025024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.385025024414062 × 215)
    floor (0.385025024414062 × 32768)
    floor (12616.5)     		tx = 12616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635025024414062 × 215)
    floor (0.635025024414062 × 32768)
    floor (20808.5)     		ty = 20808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12616 / 20808 ti = "15/12616/20808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12616/20808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12616 ÷ 215
    12616 ÷ 32768     		x = 0.385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20808 ÷ 215
    20808 ÷ 32768     		y = 0.635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.22998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72250495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72250495} λ = -0.72250495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848291375676514))-π/2
    2×atan(0.428145847750114)-π/2
    2×0.404532188472288-π/2
    0.809064376944576-1.57079632675     		φ = -0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72250495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12616 KachelY 20808 -0.72250495 -0.76173195 -41.396484 -43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 12617 KachelY 20808 -0.72231320 -0.76173195 -41.385498 -43.644026
    Unten links KachelX 12616 KachelY + 1 20809 -0.72250495 -0.76187070 -41.396484 -43.651976
    Unten rechts KachelX + 1 12617 KachelY + 1 20809 -0.72231320 -0.76187070 -41.385498 -43.651976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76173195--0.76187070) × R
    0.000138749999999965 × 6371000     		dl = 883.976249999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76173195--0.76187070) × R
    0.000138749999999965 × 6371000     		dr = 883.976249999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72250495--0.72231320) × cos(-0.76173195) × R
    0.000191750000000046 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 884.029160723831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72250495--0.72231320) × cos(-0.76187070) × R
    0.000191750000000046 × 0.723545977857072 × 6371000     		du = 883.912165730042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76173195)-sin(-0.76187070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.723545977857072)×R²
    abs(-0.72231320--0.72250495)×9.57688563041348e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57688563041348e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57688563041348e-05×40589641000000     		ar = 781409.073243074m²