Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1264 / 1840
↖ ↑ ↗
← S 80.647035°
E 42.187500°		 ← 3 176.53 m → S 80.647035°
E 42.363281°		 →
↑
3 171.74 m
↓
↑
3 171.74 m
↓
S 80.675559°
E 42.187500°		 ← 3 166.93 m →
10 059 908 m²		 S 80.675559°
E 42.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617431640625 y=0.898681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617431640625 × 211)
    floor (0.617431640625 × 2048)
    floor (1264.5)     		tx = 1264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898681640625 × 211)
    floor (0.898681640625 × 2048)
    floor (1840.5)     		ty = 1840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1264 / 1840 ti = "11/1264/1840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1264/1840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1264 ÷ 211
    1264 ÷ 2048     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1840 ÷ 211
    1840 ÷ 2048     		y = 0.8984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8984375 × 2 - 1) × π
    -0.796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50345664575781))-π/2
    2×atan(0.0818017496892705)-π/2
    2×0.0816200192470943-π/2
    0.163240038494189-1.57079632675     		φ = -1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1264 KachelY 1840 0.73631078 -1.40755629 42.187500 -80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 1265 KachelY 1840 0.73937874 -1.40755629 42.363281 -80.647035
    Unten links KachelX 1264 KachelY + 1 1841 0.73631078 -1.40805413 42.187500 -80.675559
    Unten rechts KachelX + 1 1265 KachelY + 1 1841 0.73937874 -1.40805413 42.363281 -80.675559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40755629--1.40805413) × R
    0.000497839999999972 × 6371000     		dl = 3171.73863999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40755629--1.40805413) × R
    0.000497839999999972 × 6371000     		dr = 3171.73863999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.73937874) × cos(-1.40755629) × R
    0.00306795999999998 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 3176.53371599132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.73937874) × cos(-1.40805413) × R
    0.00306795999999998 × 0.162024775706063 × 6371000     		du = 3166.93191720571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40755629)-sin(-1.40805413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162024775706063)×R²
    abs(0.73937874-0.73631078)×0.000491241787094227×R²
    0.00306795999999998×0.000491241787094227×6371000²
    0.00306795999999998×0.000491241787094227×40589641000000     		ar = 10059907.737937m²