Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1264 / 368
↖ ↑ ↗
← N 74.775843°
E 42.187500°		 ← 5 132.69 m → N 74.775843°
E 42.363281°		 →
↑
5 140.31 m
↓
↑
5 140.31 m
↓
N 74.729615°
E 42.187500°		 ← 5 147.91 m →
26 422 770 m²		 N 74.729615°
E 42.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617431640625 y=0.179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617431640625 × 211)
    floor (0.617431640625 × 2048)
    floor (1264.5)     		tx = 1264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179931640625 × 211)
    floor (0.179931640625 × 2048)
    floor (368.5)     		ty = 368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1264 / 368 ti = "11/1264/368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1264/368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1264 ÷ 211
    1264 ÷ 2048     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 368 ÷ 211
    368 ÷ 2048     		y = 0.1796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1796875 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01258279364844))-π/2
    2×atan(7.48261847063995)-π/2
    2×1.43794049409873-π/2
    2.87588098819746-1.57079632675     		φ = 1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1264 KachelY 368 0.73631078 1.30508466 42.187500 74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 1265 KachelY 368 0.73937874 1.30508466 42.363281 74.775843
    Unten links KachelX 1264 KachelY + 1 369 0.73631078 1.30427783 42.187500 74.729615
    Unten rechts KachelX + 1 1265 KachelY + 1 369 0.73937874 1.30427783 42.363281 74.729615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30508466-1.30427783) × R
    0.000806829999999925 × 6371000     		dl = 5140.31392999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30508466-1.30427783) × R
    0.000806829999999925 × 6371000     		dr = 5140.31392999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.73937874) × cos(1.30508466) × R
    0.00306795999999998 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 5132.69487717192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.73937874) × cos(1.30427783) × R
    0.00306795999999998 × 0.263374455496301 × 6371000     		du = 5147.91003816027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30508466)-sin(1.30427783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.263374455496301)×R²
    abs(0.73937874-0.73631078)×0.000778429442412798×R²
    0.00306795999999998×0.000778429442412798×6371000²
    0.00306795999999998×0.000778429442412798×40589641000000     		ar = 26422769.7609375m²