Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12672 / 20608
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 40.781250°		 ← 907.38 m → S 42.032975°
W 40.770264°		 →
↑
907.29 m
↓
↑
907.29 m
↓
S 42.041134°
W 40.781250°		 ← 907.27 m →
823 212 m²		 S 42.041134°
W 40.770264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386734008789062 y=0.628921508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386734008789062 × 215)
    floor (0.386734008789062 × 32768)
    floor (12672.5)     		tx = 12672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)     		ty = 20608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12672 / 20608 ti = "15/12672/20608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12672/20608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12672 ÷ 215
    12672 ÷ 32768     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12672 KachelY 20608 -0.71176709 -0.73361380 -40.781250 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 12673 KachelY 20608 -0.71157534 -0.73361380 -40.770264 -42.032975
    Unten links KachelX 12672 KachelY + 1 20609 -0.71176709 -0.73375621 -40.781250 -42.041134
    Unten rechts KachelX + 1 12673 KachelY + 1 20609 -0.71157534 -0.73375621 -40.770264 -42.041134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73375621) × R
    0.000142410000000037 × 6371000     		dl = 907.294110000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73375621) × R
    0.000142410000000037 × 6371000     		dr = 907.294110000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(-0.73361380) × R
    0.000191750000000046 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 907.384290798585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(-0.73375621) × R
    0.000191750000000046 × 0.742664248974541 × 6371000     		du = 907.26779611929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73375621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.742664248974541)×R²
    abs(-0.71157534--0.71176709)×9.53593127390739e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53593127390739e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53593127390739e-05×40589641000000     		ar = 823211.576471394m²