Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12672 / 28544
↖ ↑ ↗
← S 78.903929°
W 40.781250°		 ← 235.11 m → S 78.903929°
W 40.770264°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
S 78.906044°
W 40.781250°		 ← 235.07 m →
55 267 m²		 S 78.906044°
W 40.770264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386734008789062 y=0.871109008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386734008789062 × 215)
    floor (0.386734008789062 × 32768)
    floor (12672.5)     		tx = 12672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.871109008789062 × 215)
    floor (0.871109008789062 × 32768)
    floor (28544.5)     		ty = 28544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12672 / 28544 ti = "15/12672/28544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12672/28544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12672 ÷ 215
    12672 ÷ 32768     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28544 ÷ 215
    28544 ÷ 32768     		y = 0.87109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87109375 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.33165079751953))-π/2
    2×atan(0.0971352640105556)-π/2
    2×0.096831483108022-π/2
    0.193662966216044-1.57079632675     		φ = -1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12672 KachelY 28544 -0.71176709 -1.37713336 -40.781250 -78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 12673 KachelY 28544 -0.71157534 -1.37713336 -40.770264 -78.903929
    Unten links KachelX 12672 KachelY + 1 28545 -0.71176709 -1.37717026 -40.781250 -78.906044
    Unten rechts KachelX + 1 12673 KachelY + 1 28545 -0.71157534 -1.37717026 -40.770264 -78.906044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37713336--1.37717026) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37713336--1.37717026) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(-1.37713336) × R
    0.000191750000000046 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 235.110177311933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(-1.37717026) × R
    0.000191750000000046 × 0.192418458531723 × 6371000     		du = 235.065941366906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37713336)-sin(-1.37717026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192418458531723)×R²
    abs(-0.71157534--0.71176709)×3.62103174297856e-05×R²
    0.000191750000000046×3.62103174297856e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.62103174297856e-05×40589641000000     		ar = 55266.8283675033m²