Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12672 / 4480
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
E 98.437500°		 ← 1 112.44 m → N 62.915233°
E 98.459473°		 →
↑
1 112.63 m
↓
↑
1 112.63 m
↓
N 62.905227°
E 98.437500°		 ← 1 112.82 m →
1 237 952 m²		 N 62.905227°
E 98.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773468017578125 y=0.273468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773468017578125 × 214)
    floor (0.773468017578125 × 16384)
    floor (12672.5)     		tx = 12672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273468017578125 × 214)
    floor (0.273468017578125 × 16384)
    floor (4480.5)     		ty = 4480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12672 / 4480 ti = "14/12672/4480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12672/4480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12672 ÷ 214
    12672 ÷ 16384     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4480 ÷ 214
    4480 ÷ 16384     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12672 KachelY 4480 1.71805848 1.09807797 98.437500 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 12673 KachelY 4480 1.71844198 1.09807797 98.459473 62.915233
    Unten links KachelX 12672 KachelY + 1 4481 1.71805848 1.09790333 98.437500 62.905227
    Unten rechts KachelX + 1 12673 KachelY + 1 4481 1.71844198 1.09790333 98.459473 62.905227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09790333) × R
    0.000174640000000004 × 6371000     		dl = 1112.63144000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09790333) × R
    0.000174640000000004 × 6371000     		dr = 1112.63144000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71844198) × cos(1.09807797) × R
    0.00038349999999987 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 1112.44475991704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71844198) × cos(1.09790333) × R
    0.00038349999999987 × 0.455463690782553 × 6371000     		du = 1112.82464321928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09790333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455463690782553)×R²
    abs(1.71844198-1.71805848)×0.000155480966349431×R²
    0.00038349999999987×0.000155480966349431×6371000²
    0.00038349999999987×0.000155480966349431×40589641000000     		ar = 1237952.35334482m²