Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12673 / 20607
↖ ↑ ↗
← S 42.024813°
W 40.770264°		 ← 907.50 m → S 42.024813°
W 40.759277°		 →
↑
907.49 m
↓
↑
907.49 m
↓
S 42.032975°
W 40.770264°		 ← 907.38 m →
823 491 m²		 S 42.032975°
W 40.759277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386764526367188 y=0.628890991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386764526367188 × 215)
    floor (0.386764526367188 × 32768)
    floor (12673.5)     		tx = 12673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628890991210938 × 215)
    floor (0.628890991210938 × 32768)
    floor (20607.5)     		ty = 20607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12673 / 20607 ti = "15/12673/20607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12673/20607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12673 ÷ 215
    12673 ÷ 32768     		x = 0.386749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20607 ÷ 215
    20607 ÷ 32768     		y = 0.628875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.22650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71157534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809750108381989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71157534} λ = -0.71157534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809750108381989))-π/2
    2×atan(0.444969246415816)-π/2
    2×0.418662480909376-π/2
    0.837324961818752-1.57079632675     		φ = -0.73347136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71157534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.770264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73347136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.024813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12673 KachelY 20607 -0.71157534 -0.73347136 -40.770264 -42.024813
    Oben rechts KachelX + 1 12674 KachelY 20607 -0.71138359 -0.73347136 -40.759277 -42.024813
    Unten links KachelX 12673 KachelY + 1 20608 -0.71157534 -0.73361380 -40.770264 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 12674 KachelY + 1 20608 -0.71138359 -0.73361380 -40.759277 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73347136--0.73361380) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dl = 907.485239999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73347136--0.73361380) × R
    0.000142439999999966 × 6371000     		dr = 907.485239999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71157534--0.71138359) × cos(-0.73347136) × R
    0.000191750000000046 × 0.742854972619975 × 6371000     		do = 907.500791610454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71157534--0.71138359) × cos(-0.73361380) × R
    0.000191750000000046 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 907.384290798585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73347136)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742854972619975-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.71138359--0.71157534)×9.53643326943032e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53643326943032e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53643326943032e-05×40589641000000     		ar = 823490.713682636m²