Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 127 / 129
↖ ↑ ↗
← S  1.406109°
W  1.406250°		 ← 156.321 km → S  1.406109°
E  0.000000°		 →
↑
156.258 km
↓
↑
156.258 km
↓
S  2.811371°
W  1.406250°		 ← 156.180 km →
24 416.6 km²		 S  2.811371°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498046875 y=0.505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498046875 × 28)
    floor (0.498046875 × 256)
    floor (127.5)     		tx = 127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505859375 × 28)
    floor (0.505859375 × 256)
    floor (129.5)     		ty = 129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 127 / 129 ti = "8/127/129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/127/129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 127 ÷ 28
    127 ÷ 256     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 129 ÷ 28
    129 ÷ 256     		y = 0.50390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50390625 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(0.975755054706375)-π/2
    2×0.773127548987936-π/2
    1.54625509797587-1.57079632675     		φ = -0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 127 KachelY 129 -0.02454369 -0.02454123 -1.406250 -1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 128 KachelY 129 0.00000000 -0.02454123 0.000000 -1.406109
    Unten links KachelX 127 KachelY + 1 130 -0.02454369 -0.04906768 -1.406250 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 128 KachelY + 1 130 0.00000000 -0.04906768 0.000000 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02454123--0.04906768) × R
    0.02452645 × 6371000     		dl = 156258.01295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02454123--0.04906768) × R
    0.02452645 × 6371000     		dr = 156258.01295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369-0.00000000) × cos(-0.02454123) × R
    0.02454369 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 156320.763367046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369-0.00000000) × cos(-0.04906768) × R
    0.02454369 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 156179.648227811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02454123)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.9987964229002)×R²
    abs(0.00000000--0.02454369)×0.000902456228353499×R²
    0.02454369×0.000902456228353499×6371000²
    0.02454369×0.000902456228353499×40589641000000     		ar = 24416570668.9331m²