Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1272 / 792
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
E 43.593750°		 ← 15.461 km → N 37.718590°
E 43.769531°		 →
↑
15.476 km
↓
↑
15.476 km
↓
N 37.579413°
E 43.593750°		 ← 15.490 km →
239.502 km²		 N 37.579413°
E 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621337890625 y=0.386962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621337890625 × 211)
    floor (0.621337890625 × 2048)
    floor (1272.5)     		tx = 1272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.386962890625 × 211)
    floor (0.386962890625 × 2048)
    floor (792.5)     		ty = 792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1272 / 792 ti = "11/1272/792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1272/792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1272 ÷ 211
    1272 ÷ 2048     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 792 ÷ 211
    792 ÷ 2048     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1272 KachelY 792 0.76085447 0.65831359 43.593750 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 1273 KachelY 792 0.76392243 0.65831359 43.769531 37.718590
    Unten links KachelX 1272 KachelY + 1 793 0.76085447 0.65588448 43.593750 37.579413
    Unten rechts KachelX + 1 1273 KachelY + 1 793 0.76392243 0.65588448 43.769531 37.579413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65588448) × R
    0.00242911000000001 × 6371000     		dl = 15475.8598100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65588448) × R
    0.00242911000000001 × 6371000     		dr = 15475.8598100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76392243) × cos(0.65831359) × R
    0.00306796000000009 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 15461.3548660213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76392243) × cos(0.65588448) × R
    0.00306796000000009 × 0.792508828801761 × 6371000     		du = 15490.3562968227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65588448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.792508828801761)×R²
    abs(0.76392243-0.76085447)×0.00148375476442453×R²
    0.00306796000000009×0.00148375476442453×6371000²
    0.00306796000000009×0.00148375476442453×40589641000000     		ar = 239502289.184681m²