Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1273 / 279
↖ ↑ ↗
← N 78.384855°
E 43.769531°		 ← 3 935.32 m → N 78.384855°
E 43.945312°		 →
↑
3 941.29 m
↓
↑
3 941.29 m
↓
N 78.349410°
E 43.769531°		 ← 3 947.17 m →
15 533 601 m²		 N 78.349410°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621826171875 y=0.136474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621826171875 × 211)
    floor (0.621826171875 × 2048)
    floor (1273.5)     		tx = 1273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136474609375 × 211)
    floor (0.136474609375 × 2048)
    floor (279.5)     		ty = 279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1273 / 279 ti = "11/1273/279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1273/279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1273 ÷ 211
    1273 ÷ 2048     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 279 ÷ 211
    279 ÷ 2048     		y = 0.13623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    0.7275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28563137388428))-π/2
    2×atan(9.83189186452784)-π/2
    2×1.46943506651837-π/2
    2.93887013303673-1.57079632675     		φ = 1.36807381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36807381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.384855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1273 KachelY 279 0.76392243 1.36807381 43.769531 78.384855
    Oben rechts KachelX + 1 1274 KachelY 279 0.76699039 1.36807381 43.945312 78.384855
    Unten links KachelX 1273 KachelY + 1 280 0.76392243 1.36745518 43.769531 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 1274 KachelY + 1 280 0.76699039 1.36745518 43.945312 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36807381-1.36745518) × R
    0.000618629999999953 × 6371000     		dl = 3941.2917299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36807381-1.36745518) × R
    0.000618629999999953 × 6371000     		dr = 3941.2917299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76699039) × cos(1.36807381) × R
    0.00306795999999998 × 0.201336838939343 × 6371000     		do = 3935.32445002762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76699039) × cos(1.36745518) × R
    0.00306795999999998 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 3947.16780806051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36807381)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201336838939343-0.201942762110113)×R²
    abs(0.76699039-0.76392243)×0.00060592317076999×R²
    0.00306795999999998×0.00060592317076999×6371000²
    0.00306795999999998×0.00060592317076999×40589641000000     		ar = 15533601.2696967m²