Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12736 / 20928
↖ ↑ ↗
← S 44.590467°
W 40.078125°		 ← 869.98 m → S 44.590467°
W 40.067139°		 →
↑
869.90 m
↓
↑
869.90 m
↓
S 44.598291°
W 40.078125°		 ← 869.86 m →
756 743 m²		 S 44.598291°
W 40.067139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388687133789062 y=0.638687133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388687133789062 × 215)
    floor (0.388687133789062 × 32768)
    floor (12736.5)     		tx = 12736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638687133789062 × 215)
    floor (0.638687133789062 × 32768)
    floor (20928.5)     		ty = 20928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12736 / 20928 ti = "15/12736/20928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12736/20928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12736 ÷ 215
    12736 ÷ 32768     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20928 ÷ 215
    20928 ÷ 32768     		y = 0.638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638671875 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871301087494141))-π/2
    2×atan(0.418406811079117)-π/2
    2×0.396272929748159-π/2
    0.792545859496317-1.57079632675     		φ = -0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12736 KachelY 20928 -0.69949524 -0.77825047 -40.078125 -44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 12737 KachelY 20928 -0.69930349 -0.77825047 -40.067139 -44.590467
    Unten links KachelX 12736 KachelY + 1 20929 -0.69949524 -0.77838701 -40.078125 -44.598291
    Unten rechts KachelX + 1 12737 KachelY + 1 20929 -0.69930349 -0.77838701 -40.067139 -44.598291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77825047--0.77838701) × R
    0.000136539999999963 × 6371000     		dl = 869.896339999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77825047--0.77838701) × R
    0.000136539999999963 × 6371000     		dr = 869.896339999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.69930349) × cos(-0.77825047) × R
    0.000191749999999935 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 869.98166672643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.69930349) × cos(-0.77838701) × R
    0.000191749999999935 × 0.712046995386024 × 6371000     		du = 869.864557407842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77825047)-sin(-0.77838701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.712046995386024)×R²
    abs(-0.69930349--0.69949524)×9.58624394133967e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58624394133967e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58624394133967e-05×40589641000000     		ar = 756742.932443944m²