Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1276 / 252
↖ ↑ ↗
← N 79.302640°
E 44.296875°		 ← 3 628.15 m → N 79.302640°
E 44.472656°		 →
↑
3 633.64 m
↓
↑
3 633.64 m
↓
N 79.269962°
E 44.296875°		 ← 3 639.10 m →
13 203 277 m²		 N 79.269962°
E 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623291015625 y=0.123291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623291015625 × 211)
    floor (0.623291015625 × 2048)
    floor (1276.5)     		tx = 1276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123291015625 × 211)
    floor (0.123291015625 × 2048)
    floor (252.5)     		ty = 252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1276 / 252 ti = "11/1276/252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1276/252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1276 ÷ 211
    1276 ÷ 2048     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 252 ÷ 211
    252 ÷ 2048     		y = 0.123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123046875 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36846633642773))-π/2
    2×atan(10.6809986576139)-π/2
    2×1.4774442468416-π/2
    2.9548884936832-1.57079632675     		φ = 1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1276 KachelY 252 0.77312632 1.38409217 44.296875 79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 1277 KachelY 252 0.77619428 1.38409217 44.472656 79.302640
    Unten links KachelX 1276 KachelY + 1 253 0.77312632 1.38352183 44.296875 79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 1277 KachelY + 1 253 0.77619428 1.38352183 44.472656 79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38409217-1.38352183) × R
    0.000570339999999891 × 6371000     		dl = 3633.63613999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38409217-1.38352183) × R
    0.000570339999999891 × 6371000     		dr = 3633.63613999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77619428) × cos(1.38409217) × R
    0.00306795999999998 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 3628.14979022591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77619428) × cos(1.38352183) × R
    0.00306795999999998 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 3639.10331527588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38409217)-sin(1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.186181741143653)×R²
    abs(0.77619428-0.77312632)×0.00056039804006236×R²
    0.00306795999999998×0.00056039804006236×6371000²
    0.00306795999999998×0.00056039804006236×40589641000000     		ar = 13203277.1192451m²