Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1276 / 267
↖ ↑ ↗
← N 78.801980°
E 44.296875°		 ← 3 795.84 m → N 78.801980°
E 44.472656°		 →
↑
3 801.58 m
↓
↑
3 801.58 m
↓
N 78.767792°
E 44.296875°		 ← 3 807.28 m →
14 451 907 m²		 N 78.767792°
E 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623291015625 y=0.130615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623291015625 × 211)
    floor (0.623291015625 × 2048)
    floor (1276.5)     		tx = 1276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130615234375 × 211)
    floor (0.130615234375 × 2048)
    floor (267.5)     		ty = 267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1276 / 267 ti = "11/1276/267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1276/267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1276 ÷ 211
    1276 ÷ 2048     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 267 ÷ 211
    267 ÷ 2048     		y = 0.13037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    0.7392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32244691279248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32244691279248))-π/2
    2×atan(10.2006037813925)-π/2
    2×1.4730751672084-π/2
    2.9461503344168-1.57079632675     		φ = 1.37535401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37535401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.801980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1276 KachelY 267 0.77312632 1.37535401 44.296875 78.801980
    Oben rechts KachelX + 1 1277 KachelY 267 0.77619428 1.37535401 44.472656 78.801980
    Unten links KachelX 1276 KachelY + 1 268 0.77312632 1.37475731 44.296875 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 1277 KachelY + 1 268 0.77619428 1.37475731 44.472656 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37535401-1.37475731) × R
    0.000596700000000006 × 6371000     		dl = 3801.57570000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37535401-1.37475731) × R
    0.000596700000000006 × 6371000     		dr = 3801.57570000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77619428) × cos(1.37535401) × R
    0.00306795999999998 × 0.194200449854465 × 6371000     		do = 3795.83678051527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77619428) × cos(1.37475731) × R
    0.00306795999999998 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 3807.27714296014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37535401)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194200449854465-0.194785755193382)×R²
    abs(0.77619428-0.77312632)×0.00058530533891693×R²
    0.00306795999999998×0.00058530533891693×6371000²
    0.00306795999999998×0.00058530533891693×40589641000000     		ar = 14451906.9967043m²