Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12768 / 20960
↖ ↑ ↗
← S 44.840291°
W 39.726563°		 ← 866.23 m → S 44.840291°
W 39.715576°		 →
↑
866.14 m
↓
↑
866.14 m
↓
S 44.848080°
W 39.726563°		 ← 866.12 m →
750 227 m²		 S 44.848080°
W 39.715576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389663696289062 y=0.639663696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389663696289062 × 215)
    floor (0.389663696289062 × 32768)
    floor (12768.5)     		tx = 12768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639663696289062 × 215)
    floor (0.639663696289062 × 32768)
    floor (20960.5)     		ty = 20960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12768 / 20960 ti = "15/12768/20960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12768/20960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12768 ÷ 215
    12768 ÷ 32768     		x = 0.3896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20960 ÷ 215
    20960 ÷ 32768     		y = 0.6396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3896484375 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69335932} λ = -0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877437010645508))-π/2
    2×atan(0.415847359370005)-π/2
    2×0.394092808697276-π/2
    0.788185617394552-1.57079632675     		φ = -0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12768 KachelY 20960 -0.69335932 -0.78261071 -39.726563 -44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 12769 KachelY 20960 -0.69316757 -0.78261071 -39.715576 -44.840291
    Unten links KachelX 12768 KachelY + 1 20961 -0.69335932 -0.78274666 -39.726563 -44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 12769 KachelY + 1 20961 -0.69316757 -0.78274666 -39.715576 -44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78261071--0.78274666) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dl = 866.137449999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78261071--0.78274666) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dr = 866.137449999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69335932--0.69316757) × cos(-0.78261071) × R
    0.000191750000000046 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 866.2339229802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69335932--0.69316757) × cos(-0.78274666) × R
    0.000191750000000046 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 866.116805176553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78261071)-sin(-0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.708979189377179)×R²
    abs(-0.69316757--0.69335932)×9.58693850471315e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58693850471315e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58693850471315e-05×40589641000000     		ar = 750226.922251456m²