Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1278 / 270
↖ ↑ ↗
← N 78.699106°
E 44.648437°		 ← 3 830.26 m → N 78.699106°
E 44.824219°		 →
↑
3 836.04 m
↓
↑
3 836.04 m
↓
N 78.664608°
E 44.648437°		 ← 3 841.80 m →
14 715 165 m²		 N 78.664608°
E 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624267578125 y=0.132080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624267578125 × 211)
    floor (0.624267578125 × 2048)
    floor (1278.5)     		tx = 1278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132080078125 × 211)
    floor (0.132080078125 × 2048)
    floor (270.5)     		ty = 270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1278 / 270 ti = "11/1278/270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1278/270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1278 ÷ 211
    1278 ÷ 2048     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 270 ÷ 211
    270 ÷ 2048     		y = 0.1318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    0.736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31324302806543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31324302806543))-π/2
    2×atan(10.1071493317543)-π/2
    2×1.47217742177889-π/2
    2.94435484355779-1.57079632675     		φ = 1.37355852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37355852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.699106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1278 KachelY 270 0.77926224 1.37355852 44.648437 78.699106
    Oben rechts KachelX + 1 1279 KachelY 270 0.78233020 1.37355852 44.824219 78.699106
    Unten links KachelX 1278 KachelY + 1 271 0.77926224 1.37295641 44.648437 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 1279 KachelY + 1 271 0.78233020 1.37295641 44.824219 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37355852-1.37295641) × R
    0.000602109999999989 × 6371000     		dl = 3836.04280999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37355852-1.37295641) × R
    0.000602109999999989 × 6371000     		dr = 3836.04280999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.78233020) × cos(1.37355852) × R
    0.00306795999999998 × 0.195961443101301 × 6371000     		do = 3830.25710725288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.78233020) × cos(1.37295641) × R
    0.00306795999999998 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 3841.79705946355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37355852)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195961443101301-0.196551843595368)×R²
    abs(0.78233020-0.77926224)×0.000590400494066445×R²
    0.00306795999999998×0.000590400494066445×6371000²
    0.00306795999999998×0.000590400494066445×40589641000000     		ar = 14715164.5566409m²