Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12784 / 20976
↖ ↑ ↗
← S 44.964798°
W 39.550781°		 ← 864.31 m → S 44.964798°
W 39.539795°		 →
↑
864.29 m
↓
↑
864.29 m
↓
S 44.972571°
W 39.550781°		 ← 864.20 m →
746 968 m²		 S 44.972571°
W 39.539795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390151977539062 y=0.640151977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390151977539062 × 215)
    floor (0.390151977539062 × 32768)
    floor (12784.5)     		tx = 12784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640151977539062 × 215)
    floor (0.640151977539062 × 32768)
    floor (20976.5)     		ty = 20976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12784 / 20976 ti = "15/12784/20976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12784/20976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12784 ÷ 215
    12784 ÷ 32768     		x = 0.39013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20976 ÷ 215
    20976 ÷ 32768     		y = 0.64013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69029135} λ = -0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880504972221191))-π/2
    2×atan(0.414573510708644)-π/2
    2×0.393006277717247-π/2
    0.786012555434495-1.57079632675     		φ = -0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12784 KachelY 20976 -0.69029135 -0.78478377 -39.550781 -44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 12785 KachelY 20976 -0.69009961 -0.78478377 -39.539795 -44.964798
    Unten links KachelX 12784 KachelY + 1 20977 -0.69029135 -0.78491943 -39.550781 -44.972571
    Unten rechts KachelX + 1 12785 KachelY + 1 20977 -0.69009961 -0.78491943 -39.539795 -44.972571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78478377--0.78491943) × R
    0.000135659999999982 × 6371000     		dl = 864.289859999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78478377--0.78491943) × R
    0.000135659999999982 × 6371000     		dr = 864.289859999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69029135--0.69009961) × cos(-0.78478377) × R
    0.000191739999999996 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 864.314888402155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69029135--0.69009961) × cos(-0.78491943) × R
    0.000191739999999996 × 0.707445215775966 × 6371000     		du = 864.197771481923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78478377)-sin(-0.78491943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707445215775966)×R²
    abs(-0.69009961--0.69029135)×9.5873661838386e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5873661838386e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5873661838386e-05×40589641000000     		ar = 746967.98355563m²