Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1279 / 255
↖ ↑ ↗
← N 79.204309°
E 44.824219°		 ← 3 661.11 m → N 79.204309°
E 45.000000°		 →
↑
3 666.64 m
↓
↑
3 666.64 m
↓
N 79.171334°
E 44.824219°		 ← 3 672.16 m →
13 444 208 m²		 N 79.171334°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624755859375 y=0.124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624755859375 × 211)
    floor (0.624755859375 × 2048)
    floor (1279.5)     		tx = 1279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124755859375 × 211)
    floor (0.124755859375 × 2048)
    floor (255.5)     		ty = 255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1279 / 255 ti = "11/1279/255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1279/255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1279 ÷ 211
    1279 ÷ 2048     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 255 ÷ 211
    255 ÷ 2048     		y = 0.12451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35926245170068))-π/2
    2×atan(10.5831429941134)-π/2
    2×1.47658615410543-π/2
    2.95317230821086-1.57079632675     		φ = 1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1279 KachelY 255 0.78233020 1.38237598 44.824219 79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 1280 KachelY 255 0.78539816 1.38237598 45.000000 79.204309
    Unten links KachelX 1279 KachelY + 1 256 0.78233020 1.38180046 44.824219 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 1280 KachelY + 1 256 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38237598-1.38180046) × R
    0.000575519999999941 × 6371000     		dl = 3666.63791999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38237598-1.38180046) × R
    0.000575519999999941 × 6371000     		dr = 3666.63791999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78539816) × cos(1.38237598) × R
    0.00306795999999998 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 3661.10607477972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78539816) × cos(1.38180046) × R
    0.00306795999999998 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 3672.15547236704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38237598)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78539816-0.78233020)×0.000565303016476976×R²
    0.00306795999999998×0.000565303016476976×6371000²
    0.00306795999999998×0.000565303016476976×40589641000000     		ar = 13444207.8041018m²