Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1279 / 257
↖ ↑ ↗
← N 79.138261°
E 44.824219°		 ← 3 683.24 m → N 79.138261°
E 45.000000°		 →
↑
3 688.81 m
↓
↑
3 688.81 m
↓
N 79.105086°
E 44.824219°		 ← 3 694.35 m →
13 607 256 m²		 N 79.105086°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624755859375 y=0.125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624755859375 × 211)
    floor (0.624755859375 × 2048)
    floor (1279.5)     		tx = 1279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125732421875 × 211)
    floor (0.125732421875 × 2048)
    floor (257.5)     		ty = 257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1279 / 257 ti = "11/1279/257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1279/257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1279 ÷ 211
    1279 ÷ 2048     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 257 ÷ 211
    257 ÷ 2048     		y = 0.12548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12548828125 × 2 - 1) × π
    0.7490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35312652854932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35312652854932))-π/2
    2×atan(10.51840446045)-π/2
    2×1.47600976693526-π/2
    2.95201953387053-1.57079632675     		φ = 1.38122321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38122321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.138261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1279 KachelY 257 0.78233020 1.38122321 44.824219 79.138261
    Oben rechts KachelX + 1 1280 KachelY 257 0.78539816 1.38122321 45.000000 79.138261
    Unten links KachelX 1279 KachelY + 1 258 0.78233020 1.38064421 44.824219 79.105086
    Unten rechts KachelX + 1 1280 KachelY + 1 258 0.78539816 1.38064421 45.000000 79.105086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38122321-1.38064421) × R
    0.000578999999999885 × 6371000     		dl = 3688.80899999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38122321-1.38064421) × R
    0.000578999999999885 × 6371000     		dr = 3688.80899999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78539816) × cos(1.38122321) × R
    0.00306795999999998 × 0.188439676666111 × 6371000     		do = 3683.23686239487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78539816) × cos(1.38064421) × R
    0.00306795999999998 × 0.189008272127693 × 6371000     		du = 3694.35061402585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38122321)-sin(1.38064421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188439676666111-0.189008272127693)×R²
    abs(0.78539816-0.78233020)×0.000568595461581972×R²
    0.00306795999999998×0.000568595461581972×6371000²
    0.00306795999999998×0.000568595461581972×40589641000000     		ar = 13607255.9207895m²