Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12799 / 22017
↖ ↑ ↗
← S 52.489470°
W 39.385986°		 ← 743.86 m → S 52.489470°
W 39.375000°		 →
↑
743.81 m
↓
↑
743.81 m
↓
S 52.496160°
W 39.385986°		 ← 743.75 m →
553 255 m²		 S 52.496160°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390609741210938 y=0.671920776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390609741210938 × 215)
    floor (0.390609741210938 × 32768)
    floor (12799.5)     		tx = 12799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671920776367188 × 215)
    floor (0.671920776367188 × 32768)
    floor (22017.5)     		ty = 22017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12799 / 22017 ti = "15/12799/22017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12799/22017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12799 ÷ 215
    12799 ÷ 32768     		x = 0.390594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22017 ÷ 215
    22017 ÷ 32768     		y = 0.671905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.21881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68741514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.34381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08011422223911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68741514} λ = -0.68741514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08011422223911))-π/2
    2×atan(0.339556738498829)-π/2
    2×0.327341122980701-π/2
    0.654682245961402-1.57079632675     		φ = -0.91611408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68741514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91611408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.489470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12799 KachelY 22017 -0.68741514 -0.91611408 -39.385986 -52.489470
    Oben rechts KachelX + 1 12800 KachelY 22017 -0.68722339 -0.91611408 -39.375000 -52.489470
    Unten links KachelX 12799 KachelY + 1 22018 -0.68741514 -0.91623083 -39.385986 -52.496160
    Unten rechts KachelX + 1 12800 KachelY + 1 22018 -0.68722339 -0.91623083 -39.375000 -52.496160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91611408--0.91623083) × R
    0.000116749999999999 × 6371000     		dl = 743.814249999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91611408--0.91623083) × R
    0.000116749999999999 × 6371000     		dr = 743.814249999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68741514--0.68722339) × cos(-0.91611408) × R
    0.000191750000000046 × 0.60890721906018 × 6371000     		do = 743.864958412442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68741514--0.68722339) × cos(-0.91623083) × R
    0.000191750000000046 × 0.608814603971186 × 6371000     		du = 743.751816184585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91611408)-sin(-0.91623083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60890721906018-0.608814603971186)×R²
    abs(-0.68722339--0.68741514)×9.26150889936084e-05×R²
    0.000191750000000046×9.26150889936084e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.26150889936084e-05×40589641000000     		ar = 553255.278370392m²