Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 128 / 128
N  0.000000°
E  0.000000°
← 156.368 km → N  0.000000°
E  1.406250°

156.352 km

156.352 km
S  1.406109°
E  0.000000°
← 156.321 km →
24 446 km²
S  1.406109°
E  1.406250°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501953125 y=0.501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501953125 × 28)
    floor (0.501953125 × 256)
    floor (128.5)
    tx = 128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501953125 × 28)
    floor (0.501953125 × 256)
    floor (128.5)
    ty = 128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 128 / 128 ti = "8/128/128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/128/128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 128 ÷ 28
    128 ÷ 256
    x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 128 ÷ 28
    128 ÷ 256
    y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675
    φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 128 KachelY 128 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 129 KachelY 128 0.02454369 0.00000000 1.406250 0.000000
    Unten links KachelX 128 KachelY + 1 129 0.00000000 -0.02454123 0.000000 -1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 129 KachelY + 1 129 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.00000000--0.02454123) × R
    0.02454123 × 6371000
    dl = 156352.17633m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.00000000--0.02454123) × R
    0.02454123 × 6371000
    dr = 156352.17633m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.02454369) × cos(0.00000000) × R
    0.02454369 × 1 × 6371000
    do = 156367.84899m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.02454369) × cos(-0.02454123) × R
    0.02454369 × 0.999698879128554 × 6371000
    du = 156320.763367046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.02454123))×
    abs(λ12)×abs(1-0.999698879128554)×
    abs(0.02454369-0.00000000)×0.000301120871446292×
    0.02454369×0.000301120871446292×6371000²
    0.02454369×0.000301120871446292×40589641000000
    ar = 24445999468.4866m²