Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1280 / 1792
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
W 67.500000°		 ← 9 065.05 m → N 21.943045°
W 67.412109°		 →
↑
9 067.59 m
↓
↑
9 067.59 m
↓
N 21.861499°
W 67.500000°		 ← 9 070.24 m →
82 221 683 m²		 N 21.861499°
W 67.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3126220703125 y=0.4376220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3126220703125 × 212)
    floor (0.3126220703125 × 4096)
    floor (1280.5)     		tx = 1280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4376220703125 × 212)
    floor (0.4376220703125 × 4096)
    floor (1792.5)     		ty = 1792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1280 / 1792 ti = "12/1280/1792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1280/1792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1280 ÷ 212
    1280 ÷ 4096     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1792 ÷ 212
    1792 ÷ 4096     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1280 KachelY 1792 -1.17809725 0.38297839 -67.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 1281 KachelY 1792 -1.17656326 0.38297839 -67.412109 21.943045
    Unten links KachelX 1280 KachelY + 1 1793 -1.17809725 0.38155513 -67.500000 21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 1281 KachelY + 1 1793 -1.17656326 0.38155513 -67.412109 21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.38155513) × R
    0.00142325999999998 × 6371000     		dl = 9067.58945999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.38155513) × R
    0.00142325999999998 × 6371000     		dr = 9067.58945999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--1.17656326) × cos(0.38297839) × R
    0.00153398999999999 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 9065.04921038255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--1.17656326) × cos(0.38155513) × R
    0.00153398999999999 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 9070.23782941655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.928086683304752)×R²
    abs(-1.17656326--1.17809725)×0.000530910911132443×R²
    0.00153398999999999×0.000530910911132443×6371000²
    0.00153398999999999×0.000530910911132443×40589641000000     		ar = 82221682.6875712m²