Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1280 / 768
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E 45.000000°		 ← 14.756 km → N 40.979898°
E 45.175781°		 →
↑
14.771 km
↓
↑
14.771 km
↓
N 40.847060°
E 45.000000°		 ← 14.786 km →
218.179 km²		 N 40.847060°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625244140625 y=0.375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625244140625 × 211)
    floor (0.625244140625 × 2048)
    floor (1280.5)     		tx = 1280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375244140625 × 211)
    floor (0.375244140625 × 2048)
    floor (768.5)     		ty = 768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1280 / 768 ti = "11/1280/768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1280/768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1280 ÷ 211
    1280 ÷ 2048     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 768 ÷ 211
    768 ÷ 2048     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1280 KachelY 768 0.78539816 0.71523415 45.000000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 1281 KachelY 768 0.78846612 0.71523415 45.175781 40.979898
    Unten links KachelX 1280 KachelY + 1 769 0.78539816 0.71291569 45.000000 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 1281 KachelY + 1 769 0.78846612 0.71291569 45.175781 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.71291569) × R
    0.00231846000000002 × 6371000     		dl = 14770.9086600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.71291569) × R
    0.00231846000000002 × 6371000     		dr = 14770.9086600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78846612) × cos(0.71523415) × R
    0.00306796000000009 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 14756.0312640326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78846612) × cos(0.71291569) × R
    0.00306796000000009 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 14785.7099140707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.756458109966538)×R²
    abs(0.78846612-0.78539816)×0.00151840227115674×R²
    0.00306796000000009×0.00151840227115674×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151840227115674×40589641000000     		ar = 218179278.030379m²