Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1280 / 768
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
W 67.500000°		 ← 2 690.61 m → N 74.019543°
W 67.412109°		 →
↑
2 692.58 m
↓
↑
2 692.58 m
↓
N 73.995328°
W 67.500000°		 ← 2 694.58 m →
7 250 025 m²		 N 73.995328°
W 67.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3126220703125 y=0.1876220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3126220703125 × 212)
    floor (0.3126220703125 × 4096)
    floor (1280.5)     		tx = 1280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1876220703125 × 212)
    floor (0.1876220703125 × 4096)
    floor (768.5)     		ty = 768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1280 / 768 ti = "12/1280/768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1280/768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1280 ÷ 212
    1280 ÷ 4096     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 768 ÷ 212
    768 ÷ 4096     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1280 KachelY 768 -1.17809725 1.29188474 -67.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 1281 KachelY 768 -1.17656326 1.29188474 -67.412109 74.019543
    Unten links KachelX 1280 KachelY + 1 769 -1.17809725 1.29146211 -67.500000 73.995328
    Unten rechts KachelX + 1 1281 KachelY + 1 769 -1.17656326 1.29146211 -67.412109 73.995328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.29146211) × R
    0.000422629999999868 × 6371000     		dl = 2692.57572999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.29146211) × R
    0.000422629999999868 × 6371000     		dr = 2692.57572999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--1.17656326) × cos(1.29188474) × R
    0.00153398999999999 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 2690.6131944656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--1.17656326) × cos(1.29146211) × R
    0.00153398999999999 × 0.275715732791679 × 6371000     		du = 2694.58372231725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.29146211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275715732791679)×R²
    abs(-1.17656326--1.17809725)×0.000406273142349145×R²
    0.00153398999999999×0.000406273142349145×6371000²
    0.00153398999999999×0.000406273142349145×40589641000000     		ar = 7250025.36761673m²