Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12800 / 19969
↖ ↑ ↗
← S 36.606709°
W 39.375000°		 ← 980.62 m → S 36.606709°
W 39.364014°		 →
↑
980.56 m
↓
↑
980.56 m
↓
S 36.615527°
W 39.375000°		 ← 980.50 m →
961 499 m²		 S 36.615527°
W 39.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390640258789062 y=0.609420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390640258789062 × 215)
    floor (0.390640258789062 × 32768)
    floor (12800.5)     		tx = 12800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609420776367188 × 215)
    floor (0.609420776367188 × 32768)
    floor (19969.5)     		ty = 19969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12800 / 19969 ti = "15/12800/19969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12800/19969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12800 ÷ 215
    12800 ÷ 32768     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19969 ÷ 215
    19969 ÷ 32768     		y = 0.609405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.21881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687415140551605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687415140551605))-π/2
    2×atan(0.502874249791811)-π/2
    2×0.465944364211803-π/2
    0.931888728423605-1.57079632675     		φ = -0.63890760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63890760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.606709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12800 KachelY 19969 -0.68722339 -0.63890760 -39.375000 -36.606709
    Oben rechts KachelX + 1 12801 KachelY 19969 -0.68703165 -0.63890760 -39.364014 -36.606709
    Unten links KachelX 12800 KachelY + 1 19970 -0.68722339 -0.63906151 -39.375000 -36.615527
    Unten rechts KachelX + 1 12801 KachelY + 1 19970 -0.68703165 -0.63906151 -39.364014 -36.615527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63890760--0.63906151) × R
    0.000153909999999979 × 6371000     		dl = 980.560609999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63890760--0.63906151) × R
    0.000153909999999979 × 6371000     		dr = 980.560609999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68703165) × cos(-0.63890760) × R
    0.000191739999999996 × 0.802747655469156 × 6371000     		do = 980.616900713447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68703165) × cos(-0.63906151) × R
    0.000191739999999996 × 0.802655866523485 × 6371000     		du = 980.504773582572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63890760)-sin(-0.63906151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802747655469156-0.802655866523485)×R²
    abs(-0.68703165--0.68722339)×9.17889456713006e-05×R²
    0.000191739999999996×9.17889456713006e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.17889456713006e-05×40589641000000     		ar = 961499.33451411m²