Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12800 / 5632
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
W 39.375000°		 ← 305.92 m → N 75.497157°
W 39.364014°		 →
↑
305.94 m
↓
↑
305.94 m
↓
N 75.494406°
W 39.375000°		 ← 305.97 m →
93 599 m²		 N 75.494406°
W 39.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390640258789062 y=0.171890258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390640258789062 × 215)
    floor (0.390640258789062 × 32768)
    floor (12800.5)     		tx = 12800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171890258789062 × 215)
    floor (0.171890258789062 × 32768)
    floor (5632.5)     		ty = 5632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12800 / 5632 ti = "15/12800/5632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12800/5632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12800 ÷ 215
    12800 ÷ 32768     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5632 ÷ 215
    5632 ÷ 32768     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12800 KachelY 5632 -0.68722339 1.31767397 -39.375000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 12801 KachelY 5632 -0.68703165 1.31767397 -39.364014 75.497157
    Unten links KachelX 12800 KachelY + 1 5633 -0.68722339 1.31762595 -39.375000 75.494406
    Unten rechts KachelX + 1 12801 KachelY + 1 5633 -0.68703165 1.31762595 -39.364014 75.494406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31762595) × R
    4.80199999999265e-05 × 6371000     		dl = 305.935419999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31762595) × R
    4.80199999999265e-05 × 6371000     		dr = 305.935419999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68703165) × cos(1.31767397) × R
    0.000191739999999996 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 305.916766531565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68703165) × cos(1.31762595) × R
    0.000191739999999996 × 0.250474528203341 × 6371000     		du = 305.973557046235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31762595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250474528203341)×R²
    abs(-0.68703165--0.68722339)×4.64895643457197e-05×R²
    0.000191739999999996×4.64895643457197e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.64895643457197e-05×40589641000000     		ar = 93599.4615865585m²