Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12802 / 12802
↖ ↑ ↗
← S 70.627196°
E101.293945°		 ← 810.45 m → S 70.627196°
E101.315918°		 →
↑
810.33 m
↓
↑
810.33 m
↓
S 70.634484°
E101.293945°		 ← 810.15 m →
656 609 m²		 S 70.634484°
E101.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781402587890625 y=0.781402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781402587890625 × 214)
    floor (0.781402587890625 × 16384)
    floor (12802.5)     		tx = 12802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781402587890625 × 214)
    floor (0.781402587890625 × 16384)
    floor (12802.5)     		ty = 12802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12802 / 12802 ti = "14/12802/12802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12802/12802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12802 ÷ 214
    12802 ÷ 16384     		x = 0.7813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12802 ÷ 214
    12802 ÷ 16384     		y = 0.7813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76791286} λ = 1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76791285798767))-π/2
    2×atan(0.170688869219744)-π/2
    2×0.169059600941649-π/2
    0.338119201883299-1.57079632675     		φ = -1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12802 KachelY 12802 1.76791286 -1.23267712 101.293945 -70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 12803 KachelY 12802 1.76829635 -1.23267712 101.315918 -70.627196
    Unten links KachelX 12802 KachelY + 1 12803 1.76791286 -1.23280431 101.293945 -70.634484
    Unten rechts KachelX + 1 12803 KachelY + 1 12803 1.76829635 -1.23280431 101.315918 -70.634484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23267712--1.23280431) × R
    0.000127189999999944 × 6371000     		dl = 810.327489999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23267712--1.23280431) × R
    0.000127189999999944 × 6371000     		dr = 810.327489999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76791286-1.76829635) × cos(-1.23267712) × R
    0.000383489999999931 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 810.447028193393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76791286-1.76829635) × cos(-1.23280431) × R
    0.000383489999999931 × 0.331593385568842 × 6371000     		du = 810.153863887822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23267712)-sin(-1.23280431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331593385568842)×R²
    abs(1.76829635-1.76791286)×0.000119991212713277×R²
    0.000383489999999931×0.000119991212713277×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119991212713277×40589641000000     		ar = 656608.727470121m²