Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12804 / 20996
↖ ↑ ↗
← S 45.120053°
W 39.331055°		 ← 862.02 m → S 45.120053°
W 39.320068°		 →
↑
861.93 m
↓
↑
861.93 m
↓
S 45.127804°
W 39.331055°		 ← 861.90 m →
742 951 m²		 S 45.127804°
W 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390762329101562 y=0.640762329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390762329101562 × 215)
    floor (0.390762329101562 × 32768)
    floor (12804.5)     		tx = 12804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640762329101562 × 215)
    floor (0.640762329101562 × 32768)
    floor (20996.5)     		ty = 20996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12804 / 20996 ti = "15/12804/20996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12804/20996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12804 ÷ 215
    12804 ÷ 32768     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20996 ÷ 215
    20996 ÷ 32768     		y = 0.6407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884339924190796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884339924190796))-π/2
    2×atan(0.41298668585053)-π/2
    2×0.391651423027101-π/2
    0.783302846054201-1.57079632675     		φ = -0.78749348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78749348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.120053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12804 KachelY 20996 -0.68645640 -0.78749348 -39.331055 -45.120053
    Oben rechts KachelX + 1 12805 KachelY 20996 -0.68626465 -0.78749348 -39.320068 -45.120053
    Unten links KachelX 12804 KachelY + 1 20997 -0.68645640 -0.78762877 -39.331055 -45.127804
    Unten rechts KachelX + 1 12805 KachelY + 1 20997 -0.68626465 -0.78762877 -39.320068 -45.127804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78749348--0.78762877) × R
    0.00013529000000001 × 6371000     		dl = 861.932590000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78749348--0.78762877) × R
    0.00013529000000001 × 6371000     		dr = 861.932590000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68626465) × cos(-0.78749348) × R
    0.000191749999999935 × 0.705623617469134 × 6371000     		do = 862.017506826988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68626465) × cos(-0.78762877) × R
    0.000191749999999935 × 0.705527746298131 × 6371000     		du = 861.900386841548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78749348)-sin(-0.78762877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705623617469134-0.705527746298131)×R²
    abs(-0.68626465--0.68645640)×9.58711710030702e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58711710030702e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58711710030702e-05×40589641000000     		ar = 742950.508651613m²