Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12804 / 20997
↖ ↑ ↗
← S 45.127804°
W 39.331055°		 ← 861.90 m → S 45.127804°
W 39.320068°		 →
↑
861.87 m
↓
↑
861.87 m
↓
S 45.135555°
W 39.331055°		 ← 861.78 m →
742 795 m²		 S 45.135555°
W 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390762329101562 y=0.640792846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390762329101562 × 215)
    floor (0.390762329101562 × 32768)
    floor (12804.5)     		tx = 12804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640792846679688 × 215)
    floor (0.640792846679688 × 32768)
    floor (20997.5)     		ty = 20997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12804 / 20997 ti = "15/12804/20997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12804/20997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12804 ÷ 215
    12804 ÷ 32768     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20997 ÷ 215
    20997 ÷ 32768     		y = 0.640777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884531671789276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884531671789276))-π/2
    2×atan(0.412907504236999)-π/2
    2×0.391583776805961-π/2
    0.783167553611922-1.57079632675     		φ = -0.78762877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78762877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.127804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12804 KachelY 20997 -0.68645640 -0.78762877 -39.331055 -45.127804
    Oben rechts KachelX + 1 12805 KachelY 20997 -0.68626465 -0.78762877 -39.320068 -45.127804
    Unten links KachelX 12804 KachelY + 1 20998 -0.68645640 -0.78776405 -39.331055 -45.135555
    Unten rechts KachelX + 1 12805 KachelY + 1 20998 -0.68626465 -0.78776405 -39.320068 -45.135555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78762877--0.78776405) × R
    0.000135280000000071 × 6371000     		dl = 861.868880000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78762877--0.78776405) × R
    0.000135280000000071 × 6371000     		dr = 861.868880000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68626465) × cos(-0.78762877) × R
    0.000191749999999935 × 0.705527746298131 × 6371000     		do = 861.900386841548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68626465) × cos(-0.78776405) × R
    0.000191749999999935 × 0.70543186930136 × 6371000     		du = 861.78325973912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78762877)-sin(-0.78776405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705527746298131-0.70543186930136)×R²
    abs(-0.68626465--0.68645640)×9.58769967711603e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58769967711603e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58769967711603e-05×40589641000000     		ar = 742794.648109824m²