Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12808 / 21000
↖ ↑ ↗
← S 45.151053°
W 39.287109°		 ← 861.55 m → S 45.151053°
W 39.276123°		 →
↑
861.49 m
↓
↑
861.49 m
↓
S 45.158801°
W 39.287109°		 ← 861.43 m →
742 163 m²		 S 45.158801°
W 39.276123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390884399414062 y=0.640884399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390884399414062 × 215)
    floor (0.390884399414062 × 32768)
    floor (12808.5)     		tx = 12808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640884399414062 × 215)
    floor (0.640884399414062 × 32768)
    floor (21000.5)     		ty = 21000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12808 / 21000 ti = "15/12808/21000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12808/21000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12808 ÷ 215
    12808 ÷ 32768     		x = 0.390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21000 ÷ 215
    21000 ÷ 32768     		y = 0.640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.885106914584717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68568941} λ = -0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885106914584717))-π/2
    2×atan(0.412670050473335)-π/2
    2×0.39138089329266-π/2
    0.782761786585319-1.57079632675     		φ = -0.78803454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78803454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.151053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12808 KachelY 21000 -0.68568941 -0.78803454 -39.287109 -45.151053
    Oben rechts KachelX + 1 12809 KachelY 21000 -0.68549766 -0.78803454 -39.276123 -45.151053
    Unten links KachelX 12808 KachelY + 1 21001 -0.68568941 -0.78816976 -39.287109 -45.158801
    Unten rechts KachelX + 1 12809 KachelY + 1 21001 -0.68549766 -0.78816976 -39.276123 -45.158801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78803454--0.78816976) × R
    0.000135220000000102 × 6371000     		dl = 861.486620000653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78803454--0.78816976) × R
    0.000135220000000102 × 6371000     		dr = 861.486620000653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68568941--0.68549766) × cos(-0.78803454) × R
    0.000191750000000046 × 0.705240126207726 × 6371000     		do = 861.549018850519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68568941--0.68549766) × cos(-0.78816976) × R
    0.000191750000000046 × 0.705144253037086 × 6371000     		du = 861.431896422243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78803454)-sin(-0.78816976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705240126207726-0.705144253037086)×R²
    abs(-0.68549766--0.68568941)×9.58731706397487e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58731706397487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58731706397487e-05×40589641000000     		ar = 742162.503643007m²