Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12808 / 21016
↖ ↑ ↗
← S 45.274887°
W 39.287109°		 ← 859.68 m → S 45.274887°
W 39.276123°		 →
↑
859.58 m
↓
↑
859.58 m
↓
S 45.282617°
W 39.287109°		 ← 859.56 m →
738 905 m²		 S 45.282617°
W 39.276123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390884399414062 y=0.641372680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390884399414062 × 215)
    floor (0.390884399414062 × 32768)
    floor (12808.5)     		tx = 12808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641372680664062 × 215)
    floor (0.641372680664062 × 32768)
    floor (21016.5)     		ty = 21016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12808 / 21016 ti = "15/12808/21016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12808/21016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12808 ÷ 215
    12808 ÷ 32768     		x = 0.390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21016 ÷ 215
    21016 ÷ 32768     		y = 0.641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.8881748761604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68568941} λ = -0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8881748761604))-π/2
    2×atan(0.411405934735831)-π/2
    2×0.390300245009866-π/2
    0.780600490019733-1.57079632675     		φ = -0.79019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.274887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12808 KachelY 21016 -0.68568941 -0.79019584 -39.287109 -45.274887
    Oben rechts KachelX + 1 12809 KachelY 21016 -0.68549766 -0.79019584 -39.276123 -45.274887
    Unten links KachelX 12808 KachelY + 1 21017 -0.68568941 -0.79033076 -39.287109 -45.282617
    Unten rechts KachelX + 1 12809 KachelY + 1 21017 -0.68549766 -0.79033076 -39.276123 -45.282617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79019584--0.79033076) × R
    0.000134920000000038 × 6371000     		dl = 859.575320000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79019584--0.79033076) × R
    0.000134920000000038 × 6371000     		dr = 859.575320000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68568941--0.68549766) × cos(-0.79019584) × R
    0.000191750000000046 × 0.703706186570858 × 6371000     		do = 859.675097982989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68568941--0.68549766) × cos(-0.79033076) × R
    0.000191750000000046 × 0.703610320707031 × 6371000     		du = 859.557984481003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79019584)-sin(-0.79033076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703706186570858-0.703610320707031)×R²
    abs(-0.68549766--0.68568941)×9.58658638273713e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58658638273713e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58658638273713e-05×40589641000000     		ar = 738905.164627516m²