Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12808 / 4616
↖ ↑ ↗
← N 61.522695°
E101.425781°		 ← 1 164.95 m → N 61.522695°
E101.447754°		 →
↑
1 165.13 m
↓
↑
1 165.13 m
↓
N 61.512217°
E101.425781°		 ← 1 165.34 m →
1 357 546 m²		 N 61.512217°
E101.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781768798828125 y=0.281768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781768798828125 × 214)
    floor (0.781768798828125 × 16384)
    floor (12808.5)     		tx = 12808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281768798828125 × 214)
    floor (0.281768798828125 × 16384)
    floor (4616.5)     		ty = 4616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12808 / 4616 ti = "14/12808/4616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12808/4616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12808 ÷ 214
    12808 ÷ 16384     		x = 0.78173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4616 ÷ 214
    4616 ÷ 16384     		y = 0.28173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77021383} λ = 1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37137882433057))-π/2
    2×atan(3.94078059533747)-π/2
    2×1.32228495914185-π/2
    2.6445699182837-1.57079632675     		φ = 1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12808 KachelY 4616 1.77021383 1.07377359 101.425781 61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 12809 KachelY 4616 1.77059732 1.07377359 101.447754 61.522695
    Unten links KachelX 12808 KachelY + 1 4617 1.77021383 1.07359071 101.425781 61.512217
    Unten rechts KachelX + 1 12809 KachelY + 1 4617 1.77059732 1.07359071 101.447754 61.512217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07377359-1.07359071) × R
    0.000182880000000107 × 6371000     		dl = 1165.12848000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07377359-1.07359071) × R
    0.000182880000000107 × 6371000     		dr = 1165.12848000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77021383-1.77059732) × cos(1.07377359) × R
    0.000383489999999931 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 1164.95076701663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77021383-1.77059732) × cos(1.07359071) × R
    0.000383489999999931 × 0.476971368009144 × 6371000     		du = 1165.34350072626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07377359)-sin(1.07359071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.476971368009144)×R²
    abs(1.77059732-1.77021383)×0.000160744651365452×R²
    0.000383489999999931×0.000160744651365452×6371000²
    0.000383489999999931×0.000160744651365452×40589641000000     		ar = 1357546.11284772m²