Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1281 / 258
↖ ↑ ↗
← N 79.105086°
E 45.175781°		 ← 3 694.36 m → N 79.105086°
E 45.351563°		 →
↑
3 699.89 m
↓
↑
3 699.89 m
↓
N 79.071812°
E 45.175781°		 ← 3 705.51 m →
13 689 372 m²		 N 79.071812°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625732421875 y=0.126220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625732421875 × 211)
    floor (0.625732421875 × 2048)
    floor (1281.5)     		tx = 1281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126220703125 × 211)
    floor (0.126220703125 × 2048)
    floor (258.5)     		ty = 258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1281 / 258 ti = "11/1281/258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1281/258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1281 ÷ 211
    1281 ÷ 2048     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 258 ÷ 211
    258 ÷ 2048     		y = 0.1259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1259765625 × 2 - 1) × π
    0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35005856697363))-π/2
    2×atan(10.4861838507967)-π/2
    2×1.47572026819272-π/2
    2.95144053638544-1.57079632675     		φ = 1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1281 KachelY 258 0.78846612 1.38064421 45.175781 79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 1282 KachelY 258 0.79153409 1.38064421 45.351563 79.105086
    Unten links KachelX 1281 KachelY + 1 259 0.78846612 1.38006347 45.175781 79.071812
    Unten rechts KachelX + 1 1282 KachelY + 1 259 0.79153409 1.38006347 45.351563 79.071812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38064421-1.38006347) × R
    0.000580739999999969 × 6371000     		dl = 3699.8945399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38064421-1.38006347) × R
    0.000580739999999969 × 6371000     		dr = 3699.8945399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.79153409) × cos(1.38064421) × R
    0.00306796999999992 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 3694.36265574279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.79153409) × cos(1.38006347) × R
    0.00306796999999992 × 0.189578512672325 × 6371000     		du = 3705.50859845293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38064421)-sin(1.38006347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.189578512672325)×R²
    abs(0.79153409-0.78846612)×0.000570240544631589×R²
    0.00306796999999992×0.000570240544631589×6371000²
    0.00306796999999992×0.000570240544631589×40589641000000     		ar = 13689372.009786m²