Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12816 / 21008
↖ ↑ ↗
← S 45.213004°
W 39.199219°		 ← 860.61 m → S 45.213004°
W 39.188232°		 →
↑
860.53 m
↓
↑
860.53 m
↓
S 45.220743°
W 39.199219°		 ← 860.49 m →
740 533 m²		 S 45.220743°
W 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391128540039062 y=0.641128540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391128540039062 × 215)
    floor (0.391128540039062 × 32768)
    floor (12816.5)     		tx = 12816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641128540039062 × 215)
    floor (0.641128540039062 × 32768)
    floor (21008.5)     		ty = 21008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12816 / 21008 ti = "15/12816/21008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12816/21008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12816 ÷ 215
    12816 ÷ 32768     		x = 0.39111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21008 ÷ 215
    21008 ÷ 32768     		y = 0.64111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68415543} λ = -0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886640895372559))-π/2
    2×atan(0.412037507822364)-π/2
    2×0.390840275022375-π/2
    0.78168055004475-1.57079632675     		φ = -0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12816 KachelY 21008 -0.68415543 -0.78911578 -39.199219 -45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 12817 KachelY 21008 -0.68396368 -0.78911578 -39.188232 -45.213004
    Unten links KachelX 12816 KachelY + 1 21009 -0.68415543 -0.78925085 -39.199219 -45.220743
    Unten rechts KachelX + 1 12817 KachelY + 1 21009 -0.68396368 -0.78925085 -39.188232 -45.220743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78911578--0.78925085) × R
    0.000135069999999904 × 6371000     		dl = 860.530969999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78911578--0.78925085) × R
    0.000135069999999904 × 6371000     		dr = 860.530969999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68415543--0.68396368) × cos(-0.78911578) × R
    0.000191750000000046 × 0.70447314899197 × 6371000     		do = 860.612049379896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68415543--0.68396368) × cos(-0.78925085) × R
    0.000191750000000046 × 0.704377279248452 × 6371000     		du = 860.494931138326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78911578)-sin(-0.78925085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70447314899197-0.704377279248452)×R²
    abs(-0.68396368--0.68415543)×9.58697435183842e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58697435183842e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58697435183842e-05×40589641000000     		ar = 740532.930835092m²