Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12818 / 21010
↖ ↑ ↗
← S 45.228480°
W 39.177246°		 ← 860.38 m → S 45.228480°
W 39.166260°		 →
↑
860.34 m
↓
↑
860.34 m
↓
S 45.236218°
W 39.177246°		 ← 860.26 m →
740 167 m²		 S 45.236218°
W 39.166260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391189575195312 y=0.641189575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391189575195312 × 215)
    floor (0.391189575195312 × 32768)
    floor (12818.5)     		tx = 12818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641189575195312 × 215)
    floor (0.641189575195312 × 32768)
    floor (21010.5)     		ty = 21010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12818 / 21010 ti = "15/12818/21010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12818/21010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12818 ÷ 215
    12818 ÷ 32768     		x = 0.39117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21010 ÷ 215
    21010 ÷ 32768     		y = 0.64117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.887024390569519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68377194} λ = -0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887024390569519))-π/2
    2×atan(0.411879523712156)-π/2
    2×0.390705212370457-π/2
    0.781410424740915-1.57079632675     		φ = -0.78938590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78938590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.228480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12818 KachelY 21010 -0.68377194 -0.78938590 -39.177246 -45.228480
    Oben rechts KachelX + 1 12819 KachelY 21010 -0.68358019 -0.78938590 -39.166260 -45.228480
    Unten links KachelX 12818 KachelY + 1 21011 -0.68377194 -0.78952094 -39.177246 -45.236218
    Unten rechts KachelX + 1 12819 KachelY + 1 21011 -0.68358019 -0.78952094 -39.166260 -45.236218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78938590--0.78952094) × R
    0.000135039999999975 × 6371000     		dl = 860.339839999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78938590--0.78952094) × R
    0.000135039999999975 × 6371000     		dr = 860.339839999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68377194--0.68358019) × cos(-0.78938590) × R
    0.000191749999999935 × 0.70428141085276 × 6371000     		do = 860.377814542816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68377194--0.68358019) × cos(-0.78952094) × R
    0.000191749999999935 × 0.704185536712189 × 6371000     		du = 860.260690929635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78938590)-sin(-0.78952094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70428141085276-0.704185536712189)×R²
    abs(-0.68358019--0.68377194)×9.587414057044e-05×R²
    0.000191749999999935×9.587414057044e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.587414057044e-05×40589641000000     		ar = 740166.929372945m²