Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12831 / 21025
↖ ↑ ↗
← S 45.344424°
W 39.034424°		 ← 858.62 m → S 45.344424°
W 39.023438°		 →
↑
858.56 m
↓
↑
858.56 m
↓
S 45.352145°
W 39.034424°		 ← 858.50 m →
737 124 m²		 S 45.352145°
W 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391586303710938 y=0.641647338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391586303710938 × 215)
    floor (0.391586303710938 × 32768)
    floor (12831.5)     		tx = 12831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641647338867188 × 215)
    floor (0.641647338867188 × 32768)
    floor (21025.5)     		ty = 21025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12831 / 21025 ti = "15/12831/21025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12831/21025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12831 ÷ 215
    12831 ÷ 32768     		x = 0.391571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21025 ÷ 215
    21025 ÷ 32768     		y = 0.641632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.21685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68127922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.28326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.889900604546722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68127922} λ = -0.68127922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889900604546722))-π/2
    2×atan(0.410696572095626)-π/2
    2×0.389693414384088-π/2
    0.779386828768176-1.57079632675     		φ = -0.79140950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68127922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.034424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79140950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.344424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12831 KachelY 21025 -0.68127922 -0.79140950 -39.034424 -45.344424
    Oben rechts KachelX + 1 12832 KachelY 21025 -0.68108747 -0.79140950 -39.023438 -45.344424
    Unten links KachelX 12831 KachelY + 1 21026 -0.68127922 -0.79154426 -39.034424 -45.352145
    Unten rechts KachelX + 1 12832 KachelY + 1 21026 -0.68108747 -0.79154426 -39.023438 -45.352145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79140950--0.79154426) × R
    0.000134760000000012 × 6371000     		dl = 858.555960000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79140950--0.79154426) × R
    0.000134760000000012 × 6371000     		dr = 858.555960000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68127922--0.68108747) × cos(-0.79140950) × R
    0.000191749999999935 × 0.702843373885093 × 6371000     		do = 858.621052140163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68127922--0.68108747) × cos(-0.79154426) × R
    0.000191749999999935 × 0.702747506700268 × 6371000     		du = 858.503937024395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79140950)-sin(-0.79154426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702843373885093-0.702747506700268)×R²
    abs(-0.68108747--0.68127922)×9.58671848243497e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58671848243497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58671848243497e-05×40589641000000     		ar = 737123.947871199m²