Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12836 / 21028
↖ ↑ ↗
← S 45.367584°
W 38.979492°		 ← 858.27 m → S 45.367584°
W 38.968506°		 →
↑
858.24 m
↓
↑
858.24 m
↓
S 45.375303°
W 38.979492°		 ← 858.15 m →
736 549 m²		 S 45.375303°
W 38.968506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391738891601562 y=0.641738891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391738891601562 × 215)
    floor (0.391738891601562 × 32768)
    floor (12836.5)     		tx = 12836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641738891601562 × 215)
    floor (0.641738891601562 × 32768)
    floor (21028.5)     		ty = 21028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12836 / 21028 ti = "15/12836/21028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12836/21028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12836 ÷ 215
    12836 ÷ 32768     		x = 0.3917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21028 ÷ 215
    21028 ÷ 32768     		y = 0.6417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68032048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890475847342163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68032048} λ = -0.68032048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890475847342163))-π/2
    2×atan(0.410460389789014)-π/2
    2×0.389491302950018-π/2
    0.778982605900035-1.57079632675     		φ = -0.79181372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68032048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79181372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.367584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12836 KachelY 21028 -0.68032048 -0.79181372 -38.979492 -45.367584
    Oben rechts KachelX + 1 12837 KachelY 21028 -0.68012873 -0.79181372 -38.968506 -45.367584
    Unten links KachelX 12836 KachelY + 1 21029 -0.68032048 -0.79194843 -38.979492 -45.375303
    Unten rechts KachelX + 1 12837 KachelY + 1 21029 -0.68012873 -0.79194843 -38.968506 -45.375303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79181372--0.79194843) × R
    0.000134709999999982 × 6371000     		dl = 858.237409999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79181372--0.79194843) × R
    0.000134709999999982 × 6371000     		dr = 858.237409999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68032048--0.68012873) × cos(-0.79181372) × R
    0.000191750000000046 × 0.702555776743856 × 6371000     		do = 858.269712184738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68032048--0.68012873) × cos(-0.79194843) × R
    0.000191750000000046 × 0.702459906869875 × 6371000     		du = 858.152593783791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79181372)-sin(-0.79194843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702555776743856-0.702459906869875)×R²
    abs(-0.68012873--0.68032048)×9.58698739806918e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58698739806918e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58698739806918e-05×40589641000000     		ar = 736548.918283603m²