Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1284 / 1796
↖ ↑ ↗
← S 79.302640°
E 45.703125°		 ← 3 628.15 m → S 79.302640°
E 45.878906°		 →
↑
3 622.68 m
↓
↑
3 622.68 m
↓
S 79.335219°
E 45.703125°		 ← 3 617.23 m →
13 123 836 m²		 S 79.335219°
E 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627197265625 y=0.877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627197265625 × 211)
    floor (0.627197265625 × 2048)
    floor (1284.5)     		tx = 1284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877197265625 × 211)
    floor (0.877197265625 × 2048)
    floor (1796.5)     		ty = 1796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1284 / 1796 ti = "11/1284/1796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1284/1796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1284 ÷ 211
    1284 ÷ 2048     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1796 ÷ 211
    1796 ÷ 2048     		y = 0.876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876953125 × 2 - 1) × π
    -0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36846633642773))-π/2
    2×atan(0.0936242042580125)-π/2
    2×0.0933520799532962-π/2
    0.186704159906592-1.57079632675     		φ = -1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1284 KachelY 1796 0.79767001 -1.38409217 45.703125 -79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 1285 KachelY 1796 0.80073797 -1.38409217 45.878906 -79.302640
    Unten links KachelX 1284 KachelY + 1 1797 0.79767001 -1.38466079 45.703125 -79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 1285 KachelY + 1 1797 0.80073797 -1.38466079 45.878906 -79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38409217--1.38466079) × R
    0.000568620000000131 × 6371000     		dl = 3622.67802000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38409217--1.38466079) × R
    0.000568620000000131 × 6371000     		dr = 3622.67802000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.80073797) × cos(-1.38409217) × R
    0.00306795999999998 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 3628.14979022591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.80073797) × cos(-1.38466079) × R
    0.00306795999999998 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 3617.22812335155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38409217)-sin(-1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.185062574973451)×R²
    abs(0.80073797-0.79767001)×0.00055876813013897×R²
    0.00306795999999998×0.00055876813013897×6371000²
    0.00306795999999998×0.00055876813013897×40589641000000     		ar = 13123836.0106608m²