Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1284 / 764
↖ ↑ ↗
← N 41.508577°
E 45.703125°		 ← 14.637 km → N 41.508577°
E 45.878906°		 →
↑
14.652 km
↓
↑
14.652 km
↓
N 41.376808°
E 45.703125°		 ← 14.667 km →
214.682 km²		 N 41.376808°
E 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627197265625 y=0.373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627197265625 × 211)
    floor (0.627197265625 × 2048)
    floor (1284.5)     		tx = 1284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373291015625 × 211)
    floor (0.373291015625 × 2048)
    floor (764.5)     		ty = 764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1284 / 764 ti = "11/1284/764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1284/764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1284 ÷ 211
    1284 ÷ 2048     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 764 ÷ 211
    764 ÷ 2048     		y = 0.373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373046875 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797670009677734))-π/2
    2×atan(2.22036147604752)-π/2
    2×1.14762883421835-π/2
    2.29525766843671-1.57079632675     		φ = 0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1284 KachelY 764 0.79767001 0.72446134 45.703125 41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 1285 KachelY 764 0.80073797 0.72446134 45.878906 41.508577
    Unten links KachelX 1284 KachelY + 1 765 0.79767001 0.72216154 45.703125 41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 1285 KachelY + 1 765 0.80073797 0.72216154 45.878906 41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72446134-0.72216154) × R
    0.00229979999999996 × 6371000     		dl = 14652.0257999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72446134-0.72216154) × R
    0.00229979999999996 × 6371000     		dr = 14652.0257999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.80073797) × cos(0.72446134) × R
    0.00306795999999998 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 14637.1293994894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.80073797) × cos(0.72216154) × R
    0.00306795999999998 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 14666.8816875386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72446134)-sin(0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.750378687593506)×R²
    abs(0.80073797-0.79767001)×0.00152216969734076×R²
    0.00306795999999998×0.00152216969734076×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152216969734076×40589641000000     		ar = 214681657.867686m²