Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1285 / 269
↖ ↑ ↗
← N 78.733501°
E 45.878906°		 ← 3 818.75 m → N 78.733501°
E 46.054687°		 →
↑
3 824.51 m
↓
↑
3 824.51 m
↓
N 78.699106°
E 45.878906°		 ← 3 830.26 m →
14 626 858 m²		 N 78.699106°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627685546875 y=0.131591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627685546875 × 211)
    floor (0.627685546875 × 2048)
    floor (1285.5)     		tx = 1285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131591796875 × 211)
    floor (0.131591796875 × 2048)
    floor (269.5)     		ty = 269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1285 / 269 ti = "11/1285/269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1285/269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1285 ÷ 211
    1285 ÷ 2048     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 269 ÷ 211
    269 ÷ 2048     		y = 0.13134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    0.7373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31631098964111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31631098964111))-π/2
    2×atan(10.1382052924316)-π/2
    2×1.47247757113172-π/2
    2.94495514226343-1.57079632675     		φ = 1.37415882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37415882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.733501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1285 KachelY 269 0.80073797 1.37415882 45.878906 78.733501
    Oben rechts KachelX + 1 1286 KachelY 269 0.80380593 1.37415882 46.054687 78.733501
    Unten links KachelX 1285 KachelY + 1 270 0.80073797 1.37355852 45.878906 78.699106
    Unten rechts KachelX + 1 1286 KachelY + 1 270 0.80380593 1.37355852 46.054687 78.699106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37415882-1.37355852) × R
    0.000600299999999887 × 6371000     		dl = 3824.51129999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37415882-1.37355852) × R
    0.000600299999999887 × 6371000     		dr = 3824.51129999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80380593) × cos(1.37415882) × R
    0.00306795999999998 × 0.19537274668399 × 6371000     		do = 3818.75046288073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80380593) × cos(1.37355852) × R
    0.00306795999999998 × 0.195961443101301 × 6371000     		du = 3830.25710725288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37415882)-sin(1.37355852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19537274668399-0.195961443101301)×R²
    abs(0.80380593-0.80073797)×0.000588696417311185×R²
    0.00306795999999998×0.000588696417311185×6371000²
    0.00306795999999998×0.000588696417311185×40589641000000     		ar = 14626858.3821248m²