Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12880 / 21072
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
W 38.496094°		 ← 853.12 m → S 45.706179°
W 38.485108°		 →
↑
853.01 m
↓
↑
853.01 m
↓
S 45.713851°
W 38.496094°		 ← 853 m →
727 670 m²		 S 45.713851°
W 38.485108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.393081665039062 y=0.643081665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.393081665039062 × 215)
    floor (0.393081665039062 × 32768)
    floor (12880.5)     		tx = 12880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643081665039062 × 215)
    floor (0.643081665039062 × 32768)
    floor (21072.5)     		ty = 21072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12880 / 21072 ti = "15/12880/21072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12880/21072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12880 ÷ 215
    12880 ÷ 32768     		x = 0.39306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21072 ÷ 215
    21072 ÷ 32768     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67188359} λ = -0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12880 KachelY 21072 -0.67188359 -0.79772332 -38.496094 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 12881 KachelY 21072 -0.67169184 -0.79772332 -38.485108 -45.706179
    Unten links KachelX 12880 KachelY + 1 21073 -0.67188359 -0.79785721 -38.496094 -45.713851
    Unten rechts KachelX + 1 12881 KachelY + 1 21073 -0.67169184 -0.79785721 -38.485108 -45.713851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79785721) × R
    0.00013388999999997 × 6371000     		dl = 853.013189999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79785721) × R
    0.00013388999999997 × 6371000     		dr = 853.013189999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67188359--0.67169184) × cos(-0.79772332) × R
    0.000191749999999935 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 853.117223680195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67188359--0.67169184) × cos(-0.79785721) × R
    0.000191749999999935 × 0.698242252147993 × 6371000     		du = 853.000141232096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79785721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.698242252147993)×R²
    abs(-0.67169184--0.67188359)×9.58404439761473e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58404439761473e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58404439761473e-05×40589641000000     		ar = 727670.309065506m²