Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1289 / 265
↖ ↑ ↗
← N 78.870049°
E 46.582031°		 ← 3 773.06 m → N 78.870049°
E 46.757813°		 →
↑
3 778.77 m
↓
↑
3 778.77 m
↓
N 78.836065°
E 46.582031°		 ← 3 784.43 m →
14 278 989 m²		 N 78.836065°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629638671875 y=0.129638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629638671875 × 211)
    floor (0.629638671875 × 2048)
    floor (1289.5)     		tx = 1289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129638671875 × 211)
    floor (0.129638671875 × 2048)
    floor (265.5)     		ty = 265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1289 / 265 ti = "11/1289/265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1289/265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1289 ÷ 211
    1289 ÷ 2048     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 265 ÷ 211
    265 ÷ 2048     		y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675     		φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1289 KachelY 265 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 1290 KachelY 265 0.81607778 1.37654203 46.757813 78.870049
    Unten links KachelX 1289 KachelY + 1 266 0.81300982 1.37594891 46.582031 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 1290 KachelY + 1 266 0.81607778 1.37594891 46.757813 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37654203-1.37594891) × R
    0.000593120000000003 × 6371000     		dl = 3778.76752000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37654203-1.37594891) × R
    0.000593120000000003 × 6371000     		dr = 3778.76752000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81607778) × cos(1.37654203) × R
    0.00306795999999998 × 0.193034910764488 × 6371000     		do = 3773.05518474565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81607778) × cos(1.37594891) × R
    0.00306795999999998 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 3784.42958356184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193034910764488-0.193616841309623)×R²
    abs(0.81607778-0.81300982)×0.000581930545135001×R²
    0.00306795999999998×0.000581930545135001×6371000²
    0.00306795999999998×0.000581930545135001×40589641000000     		ar = 14278989.4062862m²