Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1292 / 268
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
E 47.109375°		 ← 3 807.28 m → N 78.767792°
E 47.285156°		 →
↑
3 812.98 m
↓
↑
3 812.98 m
↓
N 78.733501°
E 47.109375°		 ← 3 818.75 m →
14 538 945 m²		 N 78.733501°
E 47.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631103515625 y=0.131103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631103515625 × 211)
    floor (0.631103515625 × 2048)
    floor (1292.5)     		tx = 1292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131103515625 × 211)
    floor (0.131103515625 × 2048)
    floor (268.5)     		ty = 268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1292 / 268 ti = "11/1292/268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1292/268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1292 ÷ 211
    1292 ÷ 2048     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 268 ÷ 211
    268 ÷ 2048     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1292 KachelY 268 0.82221370 1.37475731 47.109375 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 1293 KachelY 268 0.82528166 1.37475731 47.285156 78.767792
    Unten links KachelX 1292 KachelY + 1 269 0.82221370 1.37415882 47.109375 78.733501
    Unten rechts KachelX + 1 1293 KachelY + 1 269 0.82528166 1.37415882 47.285156 78.733501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37415882) × R
    0.000598490000000007 × 6371000     		dl = 3812.97979000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37415882) × R
    0.000598490000000007 × 6371000     		dr = 3812.97979000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82528166) × cos(1.37475731) × R
    0.00306795999999998 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 3807.27714296014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82528166) × cos(1.37415882) × R
    0.00306795999999998 × 0.19537274668399 × 6371000     		du = 3818.75046288073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37415882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.19537274668399)×R²
    abs(0.82528166-0.82221370)×0.000586991490608563×R²
    0.00306795999999998×0.000586991490608563×6371000²
    0.00306795999999998×0.000586991490608563×40589641000000     		ar = 14538945.0035051m²