Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12927 / 21121
↖ ↑ ↗
← S 46.080851°
W 37.979736°		 ← 847.38 m → S 46.080851°
W 37.968750°		 →
↑
847.34 m
↓
↑
847.34 m
↓
S 46.088472°
W 37.979736°		 ← 847.26 m →
717 973 m²		 S 46.088472°
W 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394515991210938 y=0.644577026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394515991210938 × 215)
    floor (0.394515991210938 × 32768)
    floor (12927.5)     		tx = 12927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644577026367188 × 215)
    floor (0.644577026367188 × 32768)
    floor (21121.5)     		ty = 21121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12927 / 21121 ti = "15/12927/21121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12927/21121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12927 ÷ 215
    12927 ÷ 32768     		x = 0.394500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21121 ÷ 215
    21121 ÷ 32768     		y = 0.644561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.21099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66287145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.28912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908308374000824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66287145} λ = -0.66287145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908308374000824))-π/2
    2×atan(0.403205720732562)-π/2
    2×0.383266870940606-π/2
    0.766533741881213-1.57079632675     		φ = -0.80426258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66287145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.979736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80426258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.080851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12927 KachelY 21121 -0.66287145 -0.80426258 -37.979736 -46.080851
    Oben rechts KachelX + 1 12928 KachelY 21121 -0.66267970 -0.80426258 -37.968750 -46.080851
    Unten links KachelX 12927 KachelY + 1 21122 -0.66287145 -0.80439558 -37.979736 -46.088472
    Unten rechts KachelX + 1 12928 KachelY + 1 21122 -0.66267970 -0.80439558 -37.968750 -46.088472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80426258--0.80439558) × R
    0.00013300000000005 × 6371000     		dl = 847.343000000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80426258--0.80439558) × R
    0.00013300000000005 × 6371000     		dr = 847.343000000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66287145--0.66267970) × cos(-0.80426258) × R
    0.000191750000000046 × 0.693642601453563 × 6371000     		do = 847.381027407983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66287145--0.66267970) × cos(-0.80439558) × R
    0.000191750000000046 × 0.693546792847638 × 6371000     		du = 847.263983854498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80426258)-sin(-0.80439558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693642601453563-0.693546792847638)×R²
    abs(-0.66267970--0.66287145)×9.58086059245078e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58086059245078e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58086059245078e-05×40589641000000     		ar = 717972.794947143m²