Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12928 / 12928
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E104.062500°		 ← 774.26 m → S 71.524909°
E104.084473°		 →
↑
774.08 m
↓
↑
774.08 m
↓
S 71.531870°
E104.062500°		 ← 773.97 m →
599 225 m²		 S 71.531870°
E104.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789093017578125 y=0.789093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789093017578125 × 214)
    floor (0.789093017578125 × 16384)
    floor (12928.5)     		tx = 12928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789093017578125 × 214)
    floor (0.789093017578125 × 16384)
    floor (12928.5)     		ty = 12928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12928 / 12928 ti = "14/12928/12928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12928/12928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12928 ÷ 214
    12928 ÷ 16384     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12928 ÷ 214
    12928 ÷ 16384     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12928 KachelY 12928 1.81623325 -1.24834516 104.062500 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 12929 KachelY 12928 1.81661675 -1.24834516 104.084473 -71.524909
    Unten links KachelX 12928 KachelY + 1 12929 1.81623325 -1.24846666 104.062500 -71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 12929 KachelY + 1 12929 1.81661675 -1.24846666 104.084473 -71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.24846666) × R
    0.000121500000000108 × 6371000     		dl = 774.076500000686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.24846666) × R
    0.000121500000000108 × 6371000     		dr = 774.076500000686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.81661675) × cos(-1.24834516) × R
    0.00038349999999987 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 774.256259782734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.81661675) × cos(-1.24846666) × R
    0.00038349999999987 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 773.974695360631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316777107219211)×R²
    abs(1.81661675-1.81623325)×0.000115240412463691×R²
    0.00038349999999987×0.000115240412463691×6371000²
    0.00038349999999987×0.000115240412463691×40589641000000     		ar = 599224.60021208m²