Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12928 / 4736
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
W 37.968750°		 ← 258.84 m → N 77.767582°
W 37.957764°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 77.765254°
W 37.968750°		 ← 258.89 m →
67 008 m²		 N 77.765254°
W 37.957764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394546508789062 y=0.144546508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394546508789062 × 215)
    floor (0.394546508789062 × 32768)
    floor (12928.5)     		tx = 12928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144546508789062 × 215)
    floor (0.144546508789062 × 32768)
    floor (4736.5)     		ty = 4736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12928 / 4736 ti = "15/12928/4736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12928/4736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12928 ÷ 215
    12928 ÷ 32768     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4736 ÷ 215
    4736 ÷ 32768     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12928 KachelY 4736 -0.66267970 1.35730036 -37.968750 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 12929 KachelY 4736 -0.66248795 1.35730036 -37.957764 77.767582
    Unten links KachelX 12928 KachelY + 1 4737 -0.66267970 1.35725973 -37.968750 77.765254
    Unten rechts KachelX + 1 12929 KachelY + 1 4737 -0.66248795 1.35725973 -37.957764 77.765254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35725973) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35725973) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66248795) × cos(1.35730036) × R
    0.000191749999999935 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 258.83821543807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66248795) × cos(1.35725973) × R
    0.000191749999999935 × 0.21191748997755 × 6371000     		du = 258.886723517969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35725973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.21191748997755)×R²
    abs(-0.66248795--0.66267970)×3.97073685204086e-05×R²
    0.000191749999999935×3.97073685204086e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.97073685204086e-05×40589641000000     		ar = 67007.515790846m²