Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12929 / 21119
↖ ↑ ↗
← S 46.065608°
W 37.957764°		 ← 847.57 m → S 46.065608°
W 37.946778°		 →
↑
847.53 m
↓
↑
847.53 m
↓
S 46.073231°
W 37.957764°		 ← 847.45 m →
718 296 m²		 S 46.073231°
W 37.946778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394577026367188 y=0.644515991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394577026367188 × 215)
    floor (0.394577026367188 × 32768)
    floor (12929.5)     		tx = 12929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644515991210938 × 215)
    floor (0.644515991210938 × 32768)
    floor (21119.5)     		ty = 21119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12929 / 21119 ti = "15/12929/21119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12929/21119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12929 ÷ 215
    12929 ÷ 32768     		x = 0.394561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21119 ÷ 215
    21119 ÷ 32768     		y = 0.644500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.21087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66248795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.28900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907924878803864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66248795} λ = -0.66248795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907924878803864))-π/2
    2×atan(0.403360377843084)-π/2
    2×0.383399893613571-π/2
    0.766799787227141-1.57079632675     		φ = -0.80399654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66248795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80399654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.065608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12929 KachelY 21119 -0.66248795 -0.80399654 -37.957764 -46.065608
    Oben rechts KachelX + 1 12930 KachelY 21119 -0.66229621 -0.80399654 -37.946778 -46.065608
    Unten links KachelX 12929 KachelY + 1 21120 -0.66248795 -0.80412957 -37.957764 -46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 12930 KachelY + 1 21120 -0.66229621 -0.80412957 -37.946778 -46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80399654--0.80412957) × R
    0.000133029999999978 × 6371000     		dl = 847.534129999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80399654--0.80412957) × R
    0.000133029999999978 × 6371000     		dr = 847.534129999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66248795--0.66229621) × cos(-0.80399654) × R
    0.000191739999999996 × 0.693834210659576 × 6371000     		do = 847.570900556927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66248795--0.66229621) × cos(-0.80412957) × R
    0.000191739999999996 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 847.453866696717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80399654)-sin(-0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693834210659576-0.693738404991914)×R²
    abs(-0.66229621--0.66248795)×9.58056676626518e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58056676626518e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58056676626518e-05×40589641000000     		ar = 718295.67178026m²