Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1295 / 1807
↖ ↑ ↗
← S 79.655668°
E 47.636719°		 ← 3 509.74 m → S 79.655668°
E 47.812500°		 →
↑
3 504.50 m
↓
↑
3 504.50 m
↓
S 79.687184°
E 47.636719°		 ← 3 499.16 m →
12 281 343 m²		 S 79.687184°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632568359375 y=0.882568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632568359375 × 211)
    floor (0.632568359375 × 2048)
    floor (1295.5)     		tx = 1295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882568359375 × 211)
    floor (0.882568359375 × 2048)
    floor (1807.5)     		ty = 1807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1295 / 1807 ti = "11/1295/1807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1295/1807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1295 ÷ 211
    1295 ÷ 2048     		x = 0.63232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1807 ÷ 211
    1807 ÷ 2048     		y = 0.88232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40221391376025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83141759} λ = 0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40221391376025))-π/2
    2×atan(0.0905173337234751)-π/2
    2×0.0902713274343041-π/2
    0.180542654868608-1.57079632675     		φ = -1.39025367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39025367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.655668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1295 KachelY 1807 0.83141759 -1.39025367 47.636719 -79.655668
    Oben rechts KachelX + 1 1296 KachelY 1807 0.83448555 -1.39025367 47.812500 -79.655668
    Unten links KachelX 1295 KachelY + 1 1808 0.83141759 -1.39080374 47.636719 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 1296 KachelY + 1 1808 0.83448555 -1.39080374 47.812500 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39025367--1.39080374) × R
    0.000550069999999847 × 6371000     		dl = 3504.49596999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39025367--1.39080374) × R
    0.000550069999999847 × 6371000     		dr = 3504.49596999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83141759-0.83448555) × cos(-1.39025367) × R
    0.00306795999999998 × 0.179563436504638 × 6371000     		do = 3509.74211043699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83141759-0.83448555) × cos(-1.39080374) × R
    0.00306795999999998 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 3499.16467964483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39025367)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179563436504638-0.179022279985821)×R²
    abs(0.83448555-0.83141759)×0.000541156518816865×R²
    0.00306795999999998×0.000541156518816865×6371000²
    0.00306795999999998×0.000541156518816865×40589641000000     		ar = 12281343.1096513m²